Данный урок посвящается использованию векторных и матричных элементов, которые так важны для решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим на примере. Создадим систему из трех линейных уравнений, в которых было бы три неизвестных:

 

Стандартная методика решения указанных систем состоит в поочередном исключении переменных. Так, можно добавить 1 к 3 и 3 к 2.

 

Берем 5

 

После этого пользуемся 4

 

И единица

 

Вот что мы получили:

 

Уравнение линейного типа можно решить с использованием вектора или матрицы. Давайте преобразуем левую половину уравнений в произведение матричного типа.

 

Следите за тем, чтобы матрица А была соотнесена с коэффициентом системы уравнения. Теперь переводим правую сторону в векторное решение.

 

Система уравнений будет выглядеть так.

 

Соответственно, мы сможем найти решение уравнения:

 

Данная запись применяется даже к огромным системам, в которых может содержаться даже несколько тысяч уравнений. Помните, что решением будет считаться производственная от обыкновенной матрицы коэффициентов и результативности вектора. Важна в данном процессе и их последовательность. Естественно, такая методика не может похвастаться полноценной эффективностью, однако он может применяться для решения многих задач.

 

Расчет цепи постоянного тока

Цепи постоянного тока собираются пор помощи резисторов и ЗДС источников. Поэтому популярной задачей является определение тока в каждом ответвлении цепи.

 

Учитываем полученные значения:

 

Записываем индивидуальные уравнения для  I, II и III. Ориентируемся на правило Кирхгофа.

 

Смотрим на узлы а, b, c. Составляем для них новые уравнения.

 

Разработаем матрицу А. В ней имеются коэффициенты при токах. В вектор b пишем правую часть уравнения.

 

Решение уравнений будет выглядеть так:

 

Х можно найти и другим способом. Для этого вбиваем команду lsolve(A,B):

 

Линейные уравнения

Обычно линейные уравнения отличаются простотой исполнения. Однако при работе с данными примерами стоит обращать внимание на некоторые детали. Давайте их наглядно отобразим.

 

Упростим данный пример:

 

Решение оказывается очевидным

 

Этот случай можно счесть стандартным. Куда интереснее находить определители матриц коэффициентов.

 

Он не может быть равным нулю. Изменяем второе уравнение и стараемся отыскать для него решение.

 

Собственно, количество решений неограниченно.

 

Определитель матрицы коэффициентов выглядит так:

 

Он равняется нулю. Пытаясь определить решение, программа подаёт информацию о том, что такая матрица относится к сингулярному типу. В данном случае оба уравнения одинаковые. Поэтому оно получило название "линейно зависимого уравнения".

Теперь перестановка константы второго уравнения.

 

Решить пример невозможно, обе прямые параллельны:

 

Определитель снова сравнен с нулем.

 

Собственно, когда уравнитель равняется нулю, появляется сложно определяемая проблема. Особенно много ошибок допускают при работе с большой системой уравнений.

Когда коэффициент содержит ошибки м округлениями, Маткад автоматически принимает их за две разные системы. Ответ-то получен, однако существует огромная вероятность, что он ошибочный.